TITIK DAN KURVA PADA SISTEM KOORDINAT

TITIK DAN KURVA PADA SISITEM KOORDINAT

Haiiii semuanya perkenalkan saya nama saya Angela Jane Ito Naibaho bisa di panggil jane atau jen, terserah dehh hahahaa #abaikan. Disini saya baru jadi blogger, blogger muda nih hahahaaa #abaikan lagi. Baiklah-baiklah disini saya memulai membuat blogger karena memang salah satu tugas saya di perkuliahan saya jadinya saya mulai belajar menggunakan blog. Mohon maaf jika ada penulisan saya yang kurang bahkan sangat kurang heheee.

Ohh ya saya saat ini sedang menempuh pendidikan di Universitas Bengkulu Program Studi Pendidikan Matametika. Nah jadi disini saya akan mencoba untuk memberikan beberapa materi yang saya perlajari di perkuliahan saya lebih tepatnya Mata Kuliah "Geometri Analitik".

1. Sejar ah Geometr i Analitik

Geometri  analitik  merupakan  kajian  terhadap  obyek-­obyek  geometri  dengan  menggunakan sistem koordinat   yang   diulas   menggunakan   konsep   dan   prinsip   aljabar   dan   analisis. Perkembangan geometri analitik dimulai dengan kehadiran bentuk baru persamaan (equation) Bentuk baru persamaan tersebut memungkinkan  untuk mengklasifikasikan  kurva berdasarkan derajat (degree). Kurva berderajat satu adalah garis lurus (straight lines), kurva berderajat dua merupakan irisan kerucut (conic sections), dan kurva berderajat tiga dinamakan kurva kubik (cubic curves)

Descartes (sekitar tahun 1637) menggunakan bentuk baru persamaan tersebut untuk mengubah masalah­masalah geometri menjadi masalah aljabar menggunakan koordinat sehingga dapat diselesaikan dengan manipulasi aljabar. Pengubahan tersebut dilakukan berdasarkan relasi antara himpunan titik­titik yang berkorespondensi satu­satu dengan himpunan bilangan riil. Sebuah titik dapat dinyatakan sebagai pasangan bilangan riil (x,y). Descartes dalam bukunya Geometry (La Geometrie) menggunakan  pertama  kali  bentuk  sumbu  koordinat  untuk  menganalisis  sebuah kurva secara aljabar, seperti terlihat dalam gambar berikut.

                                         

Gambar 1. Diagram pertama yang digunakan Descartes untuk menganalisis kurva secara aljabar (Sumber : Smith & Latham, 1957 : 50)

Dalam bukunya, Descartes (Smith & Latham, 1957) menuliskan “I choose a straight line, as AB, to  attach to  refer  all  its  points…and in  AB I  choose a  point  A at  which to  begin the investigation… Then I draw through C the line CB parallel to GA. Since CB and BA are unknown and indeterminate quantities, I shall call one of them y and the other x.” Pernyataan Descartes tersebut mendeksripsikan mengenai sumbu koordinat x dan y. Selanjutnya Descartes menggunakan persamaan aljabar yaitu y = cy - (cx/b) + ay-ac untuk mengidentifikasi kurva tersebut. Terlihat pada gambar 1, kurva EC yang dinyatakan oleh persamaan tersebut memiliki bentuk hiperbola. Diagram tersebut menjadi awal penggunaan sistem koordinat Cartesius. Penamaan sistem koordinat ini dilakukan untuk menghormati karya pemikiran Rene Descartes.

Ide awal geometri analitik adalah penyajian kurva sebagai persamaan, yang selanjutnya dikembangkan untuk memperluas berbagai teknik manipulasi aljabar sehingga dari persamaan tersebut diperoleh informasi mengenai kurva. Descartes telah menunjukkan bahwa setelah suatu masalah geometri diubah menjadi masalah aljabar maka persamaan tersebut diselesaikan untuk memperoleh  penyelesaian  masalah  geometri. Perkembangan  tersebut  memungkinkan penyelesaian   berbagai   masalah   kompleks   dan   menghasilkan  bidang   kajian   baru   dalam matematika yaitu kalkulus dan trigonometri, yang selanjutnya menjadi dasar perkembangan sains dan teknologi modern.

Geometri analitik diaplikasikan  dalam berbagai ilmu pengetahuan sains dan teknologi. Sejak tahun 1985, geometri analitik digunakan oleh para ilmuwan untuk menyelesaikan masalah kriptografi yaitu untuk menuliskan pesan dalam kode rahasia. Ilmuwan biologi menggunakan geometri  analitik dalam bidang spektroskopi.  Di bidang geografi,  geometri  digunakan  untuk membuat peta, pengidentifikasian latitude dan longitude, serta pengembangan global positioning system (GPS). Para ahli di bidang teknik sipil menggunakan geometri analitik untuk menggambarkan bangunan atau jembatan serta melakukan perhitungan berkaitan dengan bobot yang dapat ditanggung bangunan atau jembatan tersebut.

             

Gambar 2. Contoh aplikasi geometri analitik dalam kehidupan nyata

 

2.Pemecahan Masalah Polya

Pemecahan   masalah   (problem  solving)   merupakan   suatu   prosedur   untuk   menemukan penyelesaian yang tepat atas suatu masalah. Prosedur tersebut pertama kali diformulasikan oleh George Polya (1887 ­ 1985) seorang guru dan ahli matematika yang menyatakan bahwa ada empat tahap pemecahan masalah yaitu :  understand the problem, devise a plan, carry out the plan, dan look back sebagai berikut :

1)    Understanding the Problem

Tahap pertama yang dilakukan untuk memecahkan masalah adalah memahami masalah. Cara yang disarankan Polya untuk memahami masalah dengan baik yaitu dengan menjawab pertanyaan­pertanyaan berikut :

a.  Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

b.  Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

c.  Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ?

d.  Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ?

e.  Informasi apa saja yang tidak ada / hilang dari permasalahan itu ?

f.   Informasi apa saja yang tidak dibutuhkan dari permasalahan itu ?

2)   Devising a Plan

Tahap  kedua  pemecahan  masalah  adalah  menentukan  rencana  penyelesaian  berupa  strategi pemecahan masalah. Beberapa strategi pemecahan masalah antara lain :

a.  Menemukan pola

b. Menguji masalah yang relevan dan memeriksa apakah teknik yang sama dapat digunakan untuk menyelesaikan permasalahan

c. Menguji   masalah   yang   lebih   sederhana   atau   khusus   dari   permasalahan   itu   dan diperbandingkan dengan penyelesaian masalah sebenarnya

d.  Membuat tabel

e.  Membuat diagram / gambar

f.   Menebak dan memeriksa (guess and check / trial and error)

g.  Menggunakan persamaan (equation) matematika 

h.  Bekerja mundur (work backward)

i.   Mengidentifikasi bagian dari hasil (subgoal) 

3)    Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah terdiri dari tiga aktivitas yaitu sebagai berikut :

a. Menerapkan satu atau lebih strategi pemecahan masalah untuk menemukan penyelesaian atau perhitungan

b.  Memeriksa setiap langkah strategi yang digunakan baik secara intuitif maupun dengan bukti formal

c.  Menjaga keakuratan proses pemecahan masalah

4)   Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara sebagi berikut :

a.       Memeriksa dengan pembuktianb.

b.      Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable)

c.     Jika memungkinkan lakukan pengujian untuk masalah lain yang relevan atau pun yang lebih umum dengan menggunakan teknik/strategi pemecahan masalah tersebut

Contoh penerapan pemecahan masalah : “Tentukan banyaknya titik potong jika 5 garis saling berpotongan”

Tahap  pemecahan  masalah :

1)   Understanding the Problem

a.    Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan !

Menentukan banyaknya titik potong dari garis-­garis yang berpotongan (yang ditanya)

b.    Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalah itu ?

 Lima garis saling berpotongan, misalnya garis a, b, c, d, dan e (yang diketahui)

2)   Devising a Plan

Strategi yang dipilih untuk menyelesaikan masalah ini yaitu :

a.    Membuat diagram / gambar

Pertama akan dibuat dua garis berpotongan yaitu a dan b. Kemudian akan digambar garis ketiga yaitu c yang memotong garis a dan b dan seterusnya

b.    Membuat tabel

Berdasarkan gambar akan dibuat tabel yang memuat hubungan antara banyak garis berpotongan dan banyak titik potong

c.    Menemukan pola

Berdasarkan tabel akan ditemukan pola yang tepat untuk masalah ini

3)   Carrying Out the Plan

Tahap ketiga pemecahan masalah yaitu menggunakan strategi untuk memecahkan masalah. a.        a. Membuat diagram / gambar

b.  Membuat tabel dan menemukan pola

Banyak garis berpotongan	Banyak titik potong	Pola
2	1	1
3	3	1 + 2
4	6	1 + 2 + 3
5	10	1 + 2 + 3 + 4

 Jadi disimpulkan jika lima garis berpotongan satu sama lain maka banyaknya titik potong yang terbentuk adalah 10 titik

4)   Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara sebagai berikut :

a.    Menginterpretasikan penyelesaian/solusi berdasarkan permasalahan berdasarkan rasional atau pun argumentasi (reasonable) berikut :

i.)        Jika dua garis a dan b berpotongan maka terdapat satu titik potong P

ii.)      Jika garis ketiga c memotong dua garis a dan b yang saling berpotongan di P maka garis  ketiga itu memotong masing­masing garis di satu titik yaitu c memotong a di Q dan c memotong b di R sehingga seluruhnya ada tiga titik potong

iii.)    Jika garis keempat d memotong garis a, b, dan c yang saling berpotongan seerti pada point (ii) maka d memotong a di S, d memotong b di R, dan d memotong c di S sehingga seluruhnya ada 6 titik potong

iv.)    Dengan  demikian  jika  garis  kelima  e  memotong  garis  a,  b,  c  dan  d  yang  saling berpotongan maka seluruhnya ada 6 + 4 = 10 titik potong

b.    Melakukan pengujian untuk banyaknya titik potong dari 10 garis berpotongan

Pola yang diperoleh adalah sebagai berikut :

2 garis berpotongan menghasilkan 1 titik potong

3 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 = 3 titik potong

4 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 = 6 titik potong

5 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 = 10 titik potong

Dengan demikian maka :

10 garis berpotongan menghasilkan 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 = 45 titik potong

 

Baiklah-baiklah saat ini saya akan memberikan materi tentang kedudukan garis. Nah jadi agar lebih memahami dari kedudukan suatu titik itu ternyata terdapat beberapa teorema-teorema loh yang telah ada untuk membantu didalam penyelesaian permasalahan yang menyangkut tentang kedudukan titik ini. Adapun beberapa teorema yang digunakan didalam menentukan atau mencari kedudukan dari suatu titik-titik tertentu dimana beberapa teorema tersebut adalah sebagai berikut :

Teorema 1

Kedudukan  titik-­titik  yang  berjarak  sama  yaitu  d  dari sebuah titik P adalah sebuah lingkaran berpusat di titik P dengan ukuran panjang jari-­jari d.

Nah untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 1 ini, saya akan memberikan gambar yang sesuai dengan teorema 1 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bisa kita lihat bahwa misalkan terdapat 1 titik sembarang yaitu titik O. Dan misalkan kita akan buat beberapa titik lain yang berjarak sama dari titik O tersebut. Bagaimanakah kedudukan titik atau kumpulan titik itu agar titik-titik yng lainnya dapat berjarak sama terhadap titik O? Maka dari sini dapat kita lihat jika kumpulan titik itu selalu berjarak sama terhadap titik O maka kedudukan kumpulan titik-titik itu akan membentuk suatu lingkaran dimana jarak dari sembarang titik tersebut misalnya titik A ke titik O merupkan jari-jari dari lingkaran tersebut.

Gimana penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar tentang teorema 1 ini? Mudah dipahamikan? Hahahaa semoga saja bermanfaat yaaaa

Teorema 2

Kedudukan  titik-­titik  yang  berjarak  sama  yaitu  d  dari sebuah  garis  l   adalah  sepasang  garis­-garis  sejajar  yang masing-­masing berjarak d dari garis 1.

Nah seperti teorema 1 sebelumnya, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 2 ini, saya akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 2 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Baiklah mari kita perhatikan gambar diatas. Bisa kita lihat misalkan terdapat sebuah garis g sembarang. Dan saat ini kita inigin membuat beberapa titik-titik dengan syarat bahwa   jarak antara titik dan garis g tersebut harus selalu sama. Maka apakah yang akan kita lakukan? Dengan syarat jaraknya harus selalu sama maka kita akan membuat kumpulan dari titik-titik itu membentuk sebuah garis baru (misalnya garis l) dan sejajar dengan garis g tersebut. selain sejajar, jika garis l ita proyeksikan maka juga akan membentuk garis baru yang sejajar terhadap garis g (misalkan garis k) dan juga akan saling tegak lurus membentuk sudut siku-siku yaitu 90͒ .

Bagaimana dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 2 ini? Mudah dipahamikah atau sebaliknya? Hahahaaa semoga bermanfaat yaa teman-temannnn.

Teorema 3

Kedudukan titik­titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang  tegak  lurus    terhadap  ruas garis PQ dan membagi PQ menjadi dua bagian sama besar.

Nah seperti teorema 1 dan 2 sebelumnya, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 3 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 3 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Dari gambar diatas dapat kita lihat misalnya terdapat 2 titik sembarang yaitu titik P dan titik Q. jika kita meenghubungkan kedua titik tersebut maka akan terbentuk suatu ruas garis yaitu ruas garis PQ. Jika kita ingin membuat beberapa titik diantara kedua tititk itu tapi dengan syarat yaitu jarak kedua titik tersebut terhadap titik yang baru haruslah sama. maka apakah yang akan kita buat?  Maka hal terjadi adalah bahwa kumpulan titik-titik tersebut akan membentuk suatu ruas garis yang tegak lurus terhadap ruas garis PQ dan akan membagi sisi-sisinya sama panjang.

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 3? Semoga tetap dapat bermanfaatnya heheheee 

Teorema 4

Kedudukan  titik­titik  yang  berjarak  sama  dari  dua  garis yang sejajar yaitu l1 dan l2 merupakan sebuah garis diantara keduanya dan sejajar dengan kedua garis tersebut.

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 4 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 4 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

 

Dari gambar diatas dapat kita lihat misalkan terdapat 2 garis sembarang yang sejajar yaitu garis g dan garis l. Dimana saat ini kita ingin membuat beberapa titik dengan syarat jarak titik tersebut harus sama panjang terhadap 2 garis tersebut? Lalu apa yang akan kita lakukan?  jika masalahnya seperti ini maka ada 3 kemungkinan kedudukan titik yang didapat yatitu kedudukan titk di atas garis l, kedudukan titik diantara garis g dan garis l dan kedudukan titik di bawah garis g. Tapi akakah 3 kemungkinan ini benar? Mari kita cek sama-sama yaaa. Pertama kita lihat untuk kedudukan titik yang diatas garis l, maka akan didapatkan bahwa jarak antara titik sembarang di atas garis l terhadap garis l tidak sama panjang dengan jarak antara titik tersebut terhadap garis g. Sehingga kemungkinan kedudukan titik di atas garis l tidak sesuai (salah). sekarang kita lihat kedudukan titik diantara haris l dan garis g, maka terlihat bahwa jarak antara kedua garis tersebut terhadap sembarang titik itu sama panjang. Sehingga kemungkinan kedudukan titik di antara garis l dan garis g benar. terakhir kita periksa kemungkinan kedudukan titik di bawah garis g, maka terlihat bahwa jarak antara titik sembarang di bawah garis g terhadap garis l tidak sama panjang dengan jarak antara titik tersebut terhadap garis g. Sehingga kemungkinan kedudukan titik di awah garis g tidak sesuai (salah). Jadi kemungkinan kedudukan titik yang benar adalah dianatara garis l dan garis g dimana memiliki jarak yang sama panjang terhadap sembarang titik tersebut. Sehingga gambarnya akan seperti berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 4? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya heheheee

Teorema 5

Kedudukan titik­-titik yang berjarak sama terhadap dua garis yang berpotongan yaitu l1 dan l2, adalah sepasang ruas garis (disebut  bisectors) yang membagi  dua sama besar sudut­ sudut yang yang dibentuk garis l1 dan l2.

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya juga, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 5 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 5 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 5? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya teman-temann hehehee

Teorema 6

Kedudukan titik-­titik yang berjarak sama dari kedua sisi sebuah sudut adalah sebuah ruas garis yang membagi dua sudut tersebut (bisector of angle).

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya juga, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 6 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 6 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 6? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya teman-temann hehehee

Teorema 7

Kedudukan titik­-titik yang berjarak sama dari dua buah lingkaran konsentris (concentric circles) adalah sebuah lingkaran yang konsentris terhadap kedua lingkaran tersebut dan berada tepat di tengah keduanya.

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya juga, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 7 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 7 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 7? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya teman-temann hehehee

 

Teorema 8

Kedudukan   titik­-titik   pada   jarak   tertentu   dari   sebuah lingkaran yang memiliki jari-­jari lebih panjang dari jarak tersebut merupakan sebuah pasangan lingkaran konsentris, di mana masing-­masing kedudukan titik tersebut berada di salah satu sisi lingkaran pada jarak tertentu tersebut.

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya juga, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 8 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 8 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 8? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya teman-temann hehehe
 

Teorema 9

Kedudukan titik-­titik yang berjarak tertentu dari suatu lingkaran berjari­-jari kurang dari jarak tersebut merupakan sebuah lingkaran yang berada di luar lingkaran pertama dan saling konsentris.

Nah seperti teorema-teorema sebelumnya juga, untuk lebih memudahkan pemahaman dari teorema 9 ini, saya juga akan menyertakan gambar yang sesuai dengan teorema 9 ini, dimana gambarnya sebagai berikut :

Bagaimanakah dengan penjelasan yang saya berikan berdasarkan gambar yang terkait dengan teorema 9? Semoga tetap dan tetap dapat bermanfaatnya teman-temann hehehee 

Pembuktian Teor ema 3

Tahap 1       : Akan  dibuktikan  untuk  sembarang  titik  pada  kedudukan  tersebut  memenuhi kondisi­kondisi berikut :

Diketahui              : Titik A dan B

Ruas garis CD tegak lurus dan membagi ruas garis AB

Ditanyakan           : Apakah untuk sembarang titik P pada ruas garis CD berjarak sama dari A

dan B yaitu PA} PB ?

Rencana                : Gambar/Sketsa permasalahan :

 

Bukti tahap 1 ( Harus dibuktikan >PAE } >PEB agar diperoleh PA } PB)

Pernyataan	Alasan
1.         CD adalah  ruas  garis  membagi  dua dan tegak lurus () AB 2.         Ukuran  sudut  PEA  dan  sudut  PEB sama yaitu XPEA} XPEB 3.         Ukuran panjang ruas garis AE} EB 4.         PE} PE 5.         >PEA} >PEB 6.         PA} PB	1.         Diketahui 2.         Kedua   sudut   adalah   sudut   siku­siku. Semua sudut siku­siku kongruen 3.         Agar  dapat  membagi  dua  sama  besar maka  ruas  garis  dibagi  menjadi  bagian­bagian yang kongruen 4.         Sifat refleksif 5.         Kekongruenan dua segitiga (s.a.s) 6.         Hukum kongruensi  }

  

Tahap 2      :

Akan dibuktikan untuk sembarang titik memenuhi kondisi berikut :

Diketahui              :  Sembarang titik Q yang berjarak sama dari titik A dan B yaitu QA} QB

Ditanyakan           :  Apakah Q berada pada sebuah ruas garis yang membagi dua dan tegak lurus AB Rencana                :  Gambar/Sketsa Masalah bahwa QGþAB

 

Akan dibuktikan dnegan menggunakan segitiga-segitiga kongruenbahwa QG membagi dua AB.

Bukti tahap 2 :

 

Jadi terbukti teorema 3

Contoh 1

Terdapat dua buah pelampung pada sebuah danau. Seorang perenang berenang di danau tersebut sedemikian sehingga ia selalu berjarak tetap (konstan) terhadap kedua pelampung tersebut. Deskripsikan jalur renang yang ditempuh oleh perenang tersebut.

Tahap pemecahan masalah :

1)   Understanding the Problem

a.  Nyatakan masalah dengan kalimatmu sendiri !

Misalkan kedua pelampung adalah titik A dan B dan perenang adalah titik C Misalkan jarak C ke A adalah dAC  dan jarak C ke B adalah dCB.

Maka posisi perenang yaitu C terhadap A dan B adalah kumpulan titik­titik sehingga dCA  dan dCB selalu tetap. Berbentuk apakah kumpulan  titik­titik tersebut ?

b.  Tentukan apa saja yang akan ditemukan/dicari/diselesaikan ! Bentuk kumpulan titik­titik sehingga dCA  dan dCB  selalu tetap.

c.  Apa saja yang tidak diketahui dari permasalahan itu ? Informasi apa saja yang kamu peroleh dari permasalahan itu ? Titik A dan B berbeda posisi 

      Jarak dCA  dan dCB  selalu tetap yaitu dCA  = dCB  untuk meskipun posisi C berubah­ubah

      1)   Devising a Plan

Strategi pemecahan masalah yang mungkin dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah :

a.    Membuat diagram / gambar

Menggambarkan posisi titik A, B, dan C sesuai kondisi masalah.

b.    Menguji masalah yang relevan dan memeriksanya apa dapat digunakan

c.    Memeriksa jika ada satu atau lebih teorema dasar kedudukan titik yang menyerupai masalah ini

2)   Carrying Out the Plan

a.    Membuat diagram / gambar

     

a.    Memeriksa jika ada teorema kedudukan titik yang sesuai

Teorema 3 : Kedudukan titik­titik yang berjarak sama (equidistant) dari dua buah titik P dan Q adalah sebuah ruas garis (disebut perpendicular bisector).yang tegak lurus  terhadap ruas garisPQ dan membagi PQ menjadi dua bagian sama besar

Berdasarkan gambar dan teorema tersebut maka kedudukan perenang terhadap kedua pelampung tersebut dapat dideskripsikan sebagai sebuah r uas gar is yang tegak lur us ter hadap r uas gar is yang menghubungkan kedua pelampung yaitu AB dan membagi r uas gar is AB menjadi dua bagian sama panjang seperti digambarkan sebagai berikut.

 

1)   Looking Back

Langkah terakhir pemecahan masalah adalah memeriksa kembali jawaban atau solusi terhadap permasalahan sebenarnya dengan cara :

a.    Memeriksa  dengan  pembuktian  : buktikan  teorema  3  berdasarkan  masalah  tersebut secara deduktif

b.    Menginterpretasikan     penyelesaian     permasalahan     ini     berdasarkan     argumentasi (reasonable) dengan menggunakan koordinat dan aljabar

Misalkan koordinat titik C(x, y) di mana dCA  = dCB  dengan koordinat A(xa, ya) dan B(xb, yb) maka dapat dibuktikan untuk posisi C di C1(x1, y1), C2(x2, y2), … Cn(xn, yn) yaitu :

(a) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu x maka y1  = y2  = … = yn

(b) jika ruas garis AB tegak lurus sumbu y maka x1  = x2  = … = xn

Selanjutnya harus dibuktikan bahwa garis C1C2  tegak lurus AB

Dengan bantuan geogebra dapat dilakukan simulasi untuk menunjukkan solusi  untuk tiga posisi C yang berbeda­beda sebagai berikut.

            

Sekianlah penjelasan tentang titik dan kurva sisitem koordinat yang dapat saya berikan kepada teman-teman semua. Semoga dapat bermanfaat bagi yang membacanya yaaa hehehee. Jika ada kekurangan diddalam penulisan bog saya ini saya mohon maaf dan meminta kritik dan sarannya untuk penulisan blog saya yang selanjutnya. Harap maklum ya teman-teman namanya juga baru jadi blogger heheheee. 

Senang berkenalan dengan kalian semuaaaaaa. See you later ~~~~~~