KURVA BERDERAJAT SATU

GARIS SEBAGAI KURVA BERDERAJAT SATU

1.    Persamaan Umum Garis, Gradien dan Sudut Inklinasi

Garis dibentuk oleh paling sedikit dua buah titik berbeda. Sebagai suatu himpunan, garis merupakan himpunan titik-titik yang tak hingga dan tak berbatas sehingga garis tidak memiliki dimensi panjang. Jika garis dibentuk oleh titik A dan B maka garis tersebut dapat dinamakan sebagai garis AB. Notasi lain untuk penamaan garis yaitu menggunakan huruf kecil misalnya g, h, l, m dan sebagainya. Sebuah garis juga disebut kurva berderajat satu yang dinyatakan sebagai :

Ax + By + C = 0 untuk A, B, C bilangan riil dan x, y variabel bilangan riil

Sebuah garis dapat ditentukan persamaan kurva berderajat satu seperti di atas apabila diketahui tiga buah titik yang dilalui oleh garis tersebut.

Contoh 1

Sebuah garis yang melalui titik A(1,2) dan B(-3,4) dan C(5,0) maka persamaan kurva berderajat satuuntuk garis tersebut ditentukan sebagi berikut :

Langkah 1 : Substitusikan koordinat titik ke dalam persamaan kurva

Garis melalui A(1,2), jadinya : A(1) + B(2) + C = 0, menjadi : A + 2B +C = 0 ………. Pers (1)

Garis melalui B(-3,4), jadinya : A(-3) + B(4) + C = 0, menjadi : -3A + 4B + C = 0 …    Pers (2)

Garis melalui C(5,0) jadinya : A(5) + B(0) + C = 0, menjadi : 5A + C = 0 …………….. Pers (3)

Langkah 2 : Membuat sistem persamaan linier tiga variabel

A + 2B +C = 0

-3A + 4B + C =

5A + C = 0

Langkah 3 : Menyelesaikan sistem persamaan linier

Penyelesaiannya sistem persamaan linier di atas  yaitu :

A = 1, B = 2, dan C = -5

Maka persamaan kurva berderajat satu untuk garis yang melalui A(1,2) dan B(-3,4) dan C(5,0) yaitu :

x + 2y -5 = 0

 

Garis x + 2y – 5 = 0 membentuk sudut terhadap sumbu x positif. Besarnya sudut yang terbentuk tersebut akan mempengaruhi kemiringan garis. Sudut bernilai positif yang dibentuk antara garis dan sumbu x positif dinamakan sudut inklinasi garis (angle of inclination)dan biasanya dinotasikan oleh sudut α. Kemiringan suatu garis dinamakan gradient (slope of the line) dan dinyatakan oleh notasi m.

Nilai gradien suatu garis dapat bernilai positif, negatif, nol atau tidak terdefinisi. Gradien suatu garis dapat ditentukan dengan menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku namun dengan memperhatikan interval nilai sudut yang dibentuk oleh garis terhadap sumbu x positif. Perhatikan gambar sebuah garis berikut. Garis tersebut melalui dua titik yaitu P1(x1, y1) dan P2(x2, y2). Sudut yang dibentuk garis P1P2 adalah a. Pada gambar terlihat sebuah segitiga siku-siku dengan hipotenusa P1P2, panjang sisi alas x2  - x1  dan panjang sisi tegak  y2  - y1.  Nilai  tangent  sudut  a dapat ditentukan sebagai perbandingan antara panjang sisi tegak terhadap panjang sisi alas segitiga siku-siku. sehingga dapat dirumuskan sebagai berikut :

m = tan α = (y2-y1)/(x2-x1) , dimana α = arc tan m

Jadi nilai gradien suatu garis merupakan nilai tangen sudut inklinasi dan besarnya sudut inklanasi adalah nilai arc tan dari gradien garis.

Bentuk persamaan kurva berderajat satu dapat diubah menjadi fungsi dari x di mana x adalah variabel bebas dan y adalah variabel terikat sebagai berikut :

Ax + By + C = 0, menjadi : By = -Ax - C, menjadi : y = -(A/B)x - (C/B), menjadi : y = mx + c

Konstanta m disebut sebagai gradien yang menunjukkan kemiringan garis dan c merupakan konstanta persamaaan. Persamaan y = mx + c disebut persamaan garis bergradien m.

Contoh 2

Persamaan kurva berderajat satu pada contoh sebelmnya dapat diubah menjadi persamaan garis bergradien dengan langkah sebagai berikut :

x + 2y – 5 = 0, menjadi : 2y = -x + 5, menjadi : y = -(1/2) x + 5/2

Maka gradient garis yang melalui titik A(1,2) dan B(-3,4) dan C(5,0) adalah m = - ½ yaitu bergradien negative. Sudut inklinasinya yang terbentuk  yaitu :

α = arc tan (-1/2) ≈ -0,464 rad ≈ -26,57° ≈ 153,43°

 

Pertanyaan  : Deskripsikan bentuk masing-masinggaris berdasarkan gradient dan sudut inklinasi yang ditunjukkan pada gambar berikut :

 

 

Gambar bentuk garis dengan gradient dan sudut berbeda

 

Penyelesaian :

Diketahui : Empat garis berbeda p = Ab, q = AC, r = BC, dan s = BD

Ditanya    : Bentuk garis p, q, r, dan berdasarkan gradient dan sudut inklinasi….?

Identifikasi masalah :

Tiap garis melalui paling sedikit 2 titik  berbeda. Jika diketahui koordinat kedua titik yang dilalui garis maka dapat ditentukan persamaan garis bergradien dengan menggunakan metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel. Atau dapat menggunakan konsep trigonometri pada segitiga siku-siku untuk menentukan radien suatu garis. Sebagai contoh garis p = AB melalui titik A(1,1) san B(5,4). Ruas garis AB merupakan hipotenusa dari segitiga siku-siku ADB. Kemiringan garis AB membentuk sudut ∠BAD sehingga kemiringan garis dapat ditentukan dari nilai tangent ukuran sudut ∠BAD yaitu :

m = tan ∠BAD = |DB|/|AD|

Sudut inklinasi garis ditentukan dengan mencari nilai arc tan dari gradient.

Langkah Penyelesaian :

Cara : Metode penyelesaian sistem persamaan linier dua variabel (SPLDV) untuk garis r = BC yang melalui titik B(5,4) dan C(7,1)

Langkah 1 : Substitusi koordinat titik-titik ke dalam persamaan garis y = mx + c

Garis melalui titik B, menjadi : 4 = 5m + c

Garis melalui titik C, menjadi : 1 = 7m + c

Langkah 2 : Metode eleminasi dan subtitusi SPLDV

 

  

Substitusikan nilai m ke dalam persamaan 1 = 7m + c menjadi :

1 = 7m + c

1 = 7(-3/2) + c

1 = -21/2 + c

1 + 21/2 = c

2/2 + 21/2 = c

23/3 = c

Langkah 3 : Substitusikan nilai m dan c ke dalam persamaan garis y = mx + c

Persamaan garis yaitu : y -3/2x + 23/2

Langkah 4 : Menentukan besar sudut inklinasi

Sudut inkinasi garis r = BC yaitu :

α = arc tan m = arc tan (-3/2) ≈ - 0,983 rad ≈ - 56,31° ≈ 123,69°

Langkah 5 : Deskripsi bentuk garis berdasarkan gradient dan sudut inklinasi

garis r memiliki graden m = -3/2 yaitu bergradien negarif yang ditunjukkan dengan bentuk gris dari kiri ke kanan bawah dengan besar sudut inklinasi membentuk sudut tumpul sekitar 123,69°. Hasil pencarian gradient masing-masing garis p, q, r dan s disingkat sebagi berikut :

Tabel : Hubungan antara gradien, sudut inklinasi dan bentuk garis

 

Garis	Titik-titik dilalui garis	Persamaan garis bergradien	Nilai gradien (m)	Nilai susut inklinasi (α)	Dekripsi bentuk garis
p	A(1,1) B(5,4)	y = (3/4 )x + ¼	m > 0	Sudut lancip	Dari kiri bawah ke kanan atas ( / )
q	A(1,1) C(7,1)	y = 1	m = 0	α = 0°	Mendatar, sejajar sumbu x ( - )
r	B(5,4) C(7,1)	y = (-3/2)x + 23/2	m < 0	Sudut tumpul	Dari kiri atas ke kanan bawah ( \ )
s	B(5,4) D(5,1)	x = 5	m tidak terdefinisi	α = 90°	Horizontal sejajar sumbu y ( | )

 

2.  Sifat-Sifat Garis dalam Bidang : Kesejajaran dan Perpotongan 

   Sifat-sifat garis yang berada dalam sebuah bidang dalam geometri Euclide meliputi garis-garis yang berpotongan atau tidak berpotongan. Dua buah garis dikatakan berpotongan jika ada sebuah titik potong yang dilalui kedua garis. Dua garis tidak dikatakan berpotongan disebut garis saling sejajar. 

                  

Gambar garis-garis yang memotong sumbu koordinat Cartesius

 Gambar diatas memperlihatkan bahwa garis-garis bergradien positif atau negatif memotong sumbu x dan sumbu y masing-masing di satu titik. Perpotongan garis tersebut dengan sumbu x ditentukan dengan mensubstitusikan nilai y = 0 ke dalam persamaan garis. Sedangkan untuk mencari pertotongan pada sumbu y maka dengan mensubstitusikan nilai x = 0 ke dalam persamaan garis. Sedangkan garis sejajar sumbu x adalah dimana hanya memotong sumbu y saja dan begitu juga dengan garis sejajar sumbu y maka hanya akan memotong sumbu x saja. Garis sejajar sumbu x hanya memotong sumbu y saja dan tidak meotong sumbu x. Begitu juga dengan garis sejajar sumbu y maka hanya memotong sumbu x saja dan tidak memotong sumbu y.

   Tabel : Hubungan persamaan garis dan koordinat-koordinat titik potong garis terhadap sumbu koordinat Cartesius

Persamaan garis	Titik potong garis dan sumbu x	Titik potong garis dan sumbu y
Ax + By + C = 0 A ≠ 0 dan B ≠ 0	Substitusi y = 0 : Ax + C = 0, menjadi : x = -C/A Koordinat titi potong (-C/A , 0) Jika A = 0 maka tidak ada titik potong garis dengan sumbu x	Substitusi x = 0 : By + C = 0, menjadi : y = -C/B Koordinat titi potong (0, -C/B) Jika B = 0 maka tidak ada titik potong garis dengan sumbu y
y = mx + c m > 0 atau m < 0	Substitusi y = 0 : mx + c = 0, menjadi : x = -c/m Koordinat titik potong (-c/m, 0)	Substitusi x = 0 : y = c Koordinat titik potong (0,c)
y = c yaitu jika m =0	Tidak ada titik potong garis dengan sumbu x karena persamaannya garisnya tidak mengandung variabel x	Koordinat titik potong adalah (0,c)
x = k yaitu jika m tidak terdefinisi	Koordinat titik potong adalah (k,0)	Tidak ada titik potong garis dengan sumbu y karena persamaannya garisnya tidak mengandung variabel y

 

Pertanyaan 1 : Tentukan persamaan garis jika diketahui titik potong garis dengan sumbu koordinat Cartesius yaitu (a, 0) dan (0, b).

Diketahui      :   Sebuah garis yang memotong sumbu x di (a, 0) dan sumbu y di (0,b)

Ditanyakan    :   Persamaan garis … ?

Identifikasi masalah :   

Misalkan persamaan garis y = mx + c melalui (a, 0) dan (0, b). Maka substitusi koordinat titik ke dalam persamaan menghasilkan : am + c = 0 dan b = c sehingga diperoleh am + b = 0 dan gradient garis m = - b/a  . Jadi persamaan garis yang melalui titik (a, 0) dan (0, b) yaitu

:

y = (-b/a)x + b, menjadi : (b/a)x + y = b, menjadi : 2/ab{(b/a)x + y} = b. a/ab, sehingga :

x/a + y/b = 1

Jika dua buah garis berpotongan maka akan terbentuk empat buah sudut yang berpangkal di titik sudut yang sama yaitu titik potong kedua garis tersebut seperti terlihat pada  gambar di bawah ini :

 

Pertanyaan 2 : Selidikilah sudut-sudut yang dibentukoleh dua garis yang berpotongan yaitu y = 2x + 1 dan y = -x + 2

Penyelesaian :

Diketahui     :   Dua garis berpotongan yaitu garis y = 2x + 1 dan y = -x + 2

Ditanyakan  :   Sifat sudut-sudut yang dibentuk kedua garis … ?

Identifikasi masalah : Garis y = 2x + 1 memiliki gradien m1 = 2 dan garis y = -x + 2 memiliki gradien m2 = -1. Perlu dibuktikan bahwa kedua garis berpotongan dengan cara menentukan titik potong keduanya sebagai berikut : substitusi y = 2x + 1 ke y = - x + 2 sehingga diperoleh 2x + 1 = -x + 2, menjadi : 3x = 1, menjadi : x = 1/3 maka y = -1/3 + 2 = 5/3. Jadi garis y = 2x + 1 dan y = - x + 2 berpotongan di titik A (1/3 , -5/3). Titik ini menjadi titik pangkal sudut-sudut yang dibentuk kedua garis. Untuk menyelidiki sifat sudut-sudut tersebut perlu dibuat grafik kedua garis, lalu gunakan sudut inklinasi tiap garis dengan dibantu prinsip trigonometri.

Langkah penyelesaian :

Langkah 1 : Menggambarkan grafik fungsi kedua garis pada sisitem koordinat Cartesius dan menganalisis sudut-sudut yang terbentuk

 

Gambar di atas memperlihatkan bahwa terdapat empat (4) sudut yang terbentuk dari dua garis yang saling berpotongan. Keempat sudut tersebut adalah ∠BAC, ∠CAD, ∠DAE, dan ∠EAB. Hubungan keempat sudut tersebut sebagai berikut :

(1)          Sudut-sudut berpelurus yaitu BAC berpelurus dengan

∠CAD dan ∠DAE dengan ∠EAB

Sehingga : besar ∠DAE + besar ∠CAD = 180°

Dan besar ∠DAE + besar ∠EAB = 180°

(2)          Sudut-sudut saling bertolak belakang yaitu ∠BAC bertolak belakang dengan ∠DAE dan ∠CAD bertolak belakang dengan ∠EAB

Sehingga : besar ∠BAC = besar ∠DAE = ϒ dan besar ∠CAD = besar ∠EAB = θ

Maka diperoleh  hubungan ϒ + θ = 180 °

Langkah 2 : Menganalisis sudut-sudut yang terbentuk dari perpotongan kedua garis terhadap sudut-sudut inklinasi setiap garis

Gambar di atas juga memperlihatkan garis h : y = 2x + 1 memiliki sudut inklinasi β dan sudut inklinasi garis g : y = -x + 2 adalah α. Perhatikan segitiga ∠EBA yang memiliki tiga sudut dalam sebagai berikut : besar ∠EAB = θ, besar ∠AEB = β dan besar ∠EBA = 180° - α. Maka diperoleh hubungan berikut  ini :

besar ∠EAB + besar ∠AEB +  besar ∠EBA = 180

θ + β + 180° - α = 180°

θ = α – β

Karena ϒ + θ = 180 ° maka ϒ + α – β = 180 °, menjadi : ϒ = 180 ° - α + β, sehingga berlaku :

ϒ  = β  - α

Dengan demikian besarnya sudut yang dibentuk oleh dua garis yang berpotongan dapat ditentukan dengan menguraikan hubungan tan θ = tan (α - β) dan tan ϒ = tan (β - α) dengan menggunakan prinsip trigonometri sebagai berikut :

tan θ = (mg – mh)/1 + mg.mh = (-1 -2)/1 +(-1)2 = 3 maka θ = arc tan 3 ≈ 71,57°

tan ϒ = (mh – mg)/1 + mh.mg = (2 –(-1))/1 +(-1)2 = -3 maka ϒ = arc tan -3 ≈ 108,43°

Jadi, besar sudut antara garis y = 2x + 1 dan y = -x + 2 yaitu 71,57° atau 108,43°

Adapun eorema – teorema tentang garis sebagai persamaan kurva berderajat satu adalah sebagai berikut :

Teorema 1 :

Setiap persamaan berderajat satu dalam x dan y merepresentasikan garis lurus

Pembuktian Teorema 1 :

Ax + By + C = 0, menjadi : y = - A/B – C/B

yaitu garis bergradien m = -A/B dan memotong sumbu y di y = -C/B

Teorema Akibat :

Garis melalui titik asal yaitu O(0,0) jika dn hanya jika konstanta persamaan garis bernilai nol

Pembuktian Teorema Akibat:

Ax + By + C = 0 melalui (0,0) maka menjadi : C= 0

C = 0, menjadi :Ax + By = 0, sehingga : Ax = - By karena A ≠ B ≠ 0 maka haruslah x = y = 0

3. Persamaan Normal Sebuah Garis 

    Sebuah garis yang memotong sumbu x dan sumbu y akan tegak lurus terhadap sebuah ruas garis yang melalui titik asal (0,0). Perhatikan gambar dibawah ini :

                  Gambar tersebut memperlihatkan sebuah garis l yang memotong sumbu x di A(a,0) dan tegak lurus terhadap ruas garis RO dimana O(0,0) dan R titik pada garis l. Besar sudut β menyatakan ukuran sudut inklinasi garis RO. Garis RO disebut garis normal dari garis l. sedangkan nilai p menunjukkan panjang ruas garis RO. Maka dapat dibuat sebuah segitiga siku-siku ARO dimana besar ∠ARO = 90°. 

Sehingga sudut inklinasi garis l yaitu :

α = besar ∠XAR = 180° - besar ∠RAO = 90° + β

Kemiringan garis l ditentukan oleh m = tan α = tan (90° + β) = -1/tan β == -cos β / sin β

Karena segitiga ARO adalah segitiga siku-siku dengan hipotenusa OA maka :

 cos β = p / |OA| , sehinggga |OA| = p/cos β = (a²)^1/2 = a. 

Jadi koordinat titi A di (p/cos β , 0)