PERSAMAAN PARAMETRIK

PERSAMAAN PARAMETRIK

Pada kesempatan kali ini saya akan membahas sedikit tentang materi persamaan parametik. Perhatikan gerak suatu partikel sepanjang garis lurus atau suatu partikel yang bergerak sepanjang sebuah garis koordinat. Misalkan S = f(t) adalah suatu fungsi posisi f yang menentukan jarak berarah dari partikel sejauh s dari titik asal pada akhir t satuan waktu. Maka kecepatan partikel pada saat t adalah :

 

Percepatan sebuah partikel yang bergerakm adalah kecepatan perubahan terhadap waktu dari kecepatannya yang ditentukan oleh :

Mengingat bahwa setiap titik pada bidang (dalam sisitem koordinat kartesius, misalnya) ditentukan oleh koordinat x dan koordinat y maka suatu kurva bidang dinyatakan oleh sepasang persamaan parametik yaitu sebagai berikut :

 

 

Apabila nilai t naik dari a hingga b, titik (x,y) bergerak sepanjang kurva pada bidang x y , dari P(f(a), g(a)) hingga Q(f(b), g(b)), jika titik pangkal P dan titik ujung Q berimpit maka kurva itu disebut tertutupp. Dan apabila nilai-nilai berlawanan dari t memberikan titik-titik yang berlainan pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan t = b) dikatakan kurva sederhana. Ada 4 macam jenis kurva yaitu :

1.    Kurva tidak tertutup tidak sederhana

Yaitu kurva yang yang mana pangkal dan ujung kurvanya tidak bertemu dan memiliki titik potong

2.    Kurva tidak tertutup sederhana

Yaitu kurva yang yang mana pangkal dan ujung kurvanya tidak bertemu dan tidak memiliki titik potong

3.    Kurva tertutup tidak sederhana

Yaitu kurva yang yang mana pangkal dan ujung kurvanya bertemu dan memiliki titik potong

4.    Kurva tertutup sederhana

Yaitu kurva yang yang mana pangkal dan ujung kurvanya bertemu dan tidak memiliki titik potong

 

Terlihat pada gambar dibawah ini bahwa :

1.    Gambar (a) adalah gambar kurva tidak tertutup tidak sederhana

2.    Gambar (b) adalah gambar kurva tidak tertutup sederhana

3.    Gambar (c) adalah gambar kurva tertutup tidak sederhana

4.    Gambar (d) adalah gambar kurva tertutup sederhana

   

   

 

 

Kadang-kadang kita dapat mengubah suatu persamaan parametik ke dalam persamaan kartesius dengan cara melenyapkan parameternya sehingga kita bisa mengenal bentuk grafiknya. Untuk melenyapkan parametiknya salah satu caranya adalah menghitung nilai parameternya dari salah satu persamaaan dan selanjutnya mensubstitusikannya kedalam persamaan lainnya. Cara lain untuk melenyapkan parameter adalah menggunakan hubungan yang teah kita kenal dari dua persamaan tersebut.

Contoh :

1.    Lenyapkanlah perameter t dari persamaan-persamaan berikut ini : 

      

Kemudian tentukan bentuk kurva dan gambarkan grafiknya !

Jawab :

x = t – 1

t = x + 1

Jika nilai t ini disubstitusikan ke dalam persamaan kedua maka diperolehlah :

y = t² – 2

y = (x + 1)² – 2

y = x² + 2x + 1– 2

y = x² + 2x – 1

Grafik dari persamaan ini yaitu sebuah parabola dengan sumbu simetri x = -1san puncak bawah (-1,-2) serta terbuka keatas. Maka gambar grafiknya adalah sebagai berikut :